1.    LUAS PERSEGI PANJANG DAN LUAS SEGITIGA SIKU-SIKU

Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi ABCD yang panjang sisinya s satuan panjang

Luas persegi ABCD = sisi x sisi

                        L = s x s

                        L =  satuan panjang

Pada gambar tersebut tampak sebuah persegi panjang PQRS yang panjangnya pdan lebarnya  l satuan. Diagonal QS membagi persegi panjang PQRS menjadi dua buah sgitiga siku-siku, yaitu D PQS dan D QRS. Adapun luas D PQS sama dengan luas D QRS, sehingga diperoleh

Luas D PQS        = luas D QRS

= x luas persegi panjang PQRS

Karena persegi panjang PQRS berukuran panjang p dan lebar  l.

Luas D PQS =   p x l atau

L D =  a x t

2.    MENEMUKAN TEOREMA PHYTAGORAS

Gambar (i) menunjukkan persegi ABCD berukuran (b + c). pada keempat sudutnya buatlah empat D siku-siku dengan panjang sisi siku-sikunya b cm dan  c cm.

Dari gambar tampak bahwa luas persegi ABCD sama dengan luas persegi dalam ditambah luas empat D siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehingga diperoleh

Luas daerah yang diarsir = luas empat D siku-siku

= 4 x  b x c

= 2bc

Dan luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi dalam (PQRS)

= a x a =

Lalu buatlah persegi EFGH berukuran (b + c) cm seperti tampak pada gambar  (ii). Pada dua buah sudutnya buatlah empat D siku-siku sedemikian hingga membentuk dua persegi panjang berukuran (b x c) cm.

Luas persegi EFGH sama dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas empat D siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehingga diperoleh

Luas daerah yang diarsir = luas persegi panjang

= 2 x b x c

= 2 bc

Luas daerah yang tidak diarsir = luas persegi KMGN + luas persegi OFML

= (b x b) + (c x c)

=  +

Dari gambar (i) dan (ii) tampak bahwa ukuran persegi ABCD = ukuran persegi EFGH, sehingga diperoleh

Luas persegi ABCD = luas persegi EFGH

2 bc +  = 2 bc +  +

   =  +

  =  -

  =

Contoh

Diketahui D ABC siku-siku di B dengan AB  = 6 cm dan BC = 8 cm. hitunglah panjang AC!

Penyelesaian

Dengan menggunakan teorema PhytagoraS berlaku

     =  +

=  +

= 36 + 64

= 100

AC      =  = 10

Jadi, panjang AC = 10 cm.

Ø  PERBANDINGAN SISI-SISI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU DENGAN SUDUT ISTIMEWA

a.    Sudut  dan

Perhatikan gambar

Segitiga ABC disamping adalah segitga sama sisi dengan

AB = BC = AC = 2x cm dan Ð A = Ð B = Ð C = .

Karena CD tegak lurus AB, maka CDmerupakan garis tinggi sekaligus garis bagi Ð C, sehingga

Ð ACD = Ð BCD = .

Diketahui Ð ADC = Ð BDC =

titik D adalah titik tengah AB , diman AB = 2x cm, sehingga panjang BD = x cm.

perhatikan D CBD

dengan menggunakan teorema Phyytagoras diperoleh

            =  -

CD                        =

=

=

=

= x

Dengan demikian, diperoleh perbandingan

BD : CD : BC = x : x  : 2x

= 1 :  : 2

Perbandingan tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yangberkaitan dengan segitiga siku-siku khusus.

b.    Sudut

Segitiga ABC pada gambar adalah segitiga siku-siku sama kaki. Sudut B siku-siku dengan panjang AB = BC = x cm  dan Ð A = Ð C =

Dengan menggunakan teorema Phytagoras diperoleh

           =  +

AC                        =

                  =

                  = x

Dengan demikian, diperoleh perbandingan

AB : BC : AC = x : x : .

PENGGUNAAN TEOREMA PHYTAGORAS PADA BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG

Selain dimanfaatkan pada segitiga siku-siku, teorema Phytagoras juga dapat digunakan pada bangun datar dan bangun ruang matematika yang lain untuk mencari panjang sisi lain yang belum diketahui.

Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a  cm pada gambar. Diagonalsisi adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada suatu bidang datar. Diagonal sisi kubus tersebut antara lain , , , dan . Misalkan kita akan menentukan panjang diagonal sisi .

Perhatikan persegi ABCD .  adalah salah satu diagonal sisi bidang ABCD. Sekarang , perhatikan D ABD. Karena D ABD siku-siku di A, maka dengan menggunakan teorema Phytagoras diperoleh

            =  +

                  =  +

                  = 2

              =

                  =  cm.

Diagonal ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu bangun ruang.

Diagonal ruang kubus ABCD.EFGH antara lain  dan . Perhatikan D BDH siku-siku di titik D, maka untuk menentukan panjang diagonal ruang   dapat dicari menggunakan teorema Phytagoras

           =  +

                  =  +

                  = 2  +

                  = 3

            =   cm.